Theorem dmoprabss 3032

Description: The domain of an operation abstraction.

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ⊆ (A × B)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 3031	. 2 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} = {⟨x, y⟩∣∃z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)}
2		19.42v 966	. . . 4 ⊢ (∃z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ∃zφ))
3	2	biopabi 2103	. . 3 ⊢ {⟨x, y⟩∣∃z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} = {⟨x, y⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ∃zφ)}
4		opabssxp 2468	. . 3 ⊢ {⟨x, y⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ∃zφ)} ⊆ (A × B)
5	3, 4	eqsstr 1530	. 2 ⊢ {⟨x, y⟩∣∃z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ⊆ (A × B)
6	1, 5	eqsstr 1530	1 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ⊆ (A × B)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  {copab 2055   × cxp 2408  dom cdm 2410  {copab2 3002

This theorem is referenced by:  oprabex 3044  dmaddpq 3853  dmmulpq 3855  dmaddsr 3988  dmmulsr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428  df-oprab 3004

metamath.org