Theorem dmrecpq 3868

Description: Domain of reciprocal on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmrecpq	⊢ dom *Q = Q

Proof of Theorem dmrecpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rq 3835	. . 3 ⊢ *Q = {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)}
2	1	dmeqi 2532	. 2 ⊢ dom *Q = dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)}
3		recidpq 3865	. . . . 5 ⊢ (x ∈ Q → (x ·Q (*Q ‘x)) = 1Q)
4		fvex 2838	. . . . . 6 ⊢ (*Q ‘x) ∈ V
5		opreq2 3007	. . . . . . 7 ⊢ (y = (*Q ‘x) → (x ·Q y) = (x ·Q (*Q ‘x)))
6	5	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ (y = (*Q ‘x) → ((x ·Q y) = 1Q ↔ (x ·Q (*Q ‘x)) = 1Q))
7	4, 6	cla4ev 1401	. . . . 5 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘x)) = 1Q → ∃y(x ·Q y) = 1Q)
8	3, 7	syl 12	. . . 4 ⊢ (x ∈ Q → ∃y(x ·Q y) = 1Q)
9	8	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀x ∈ Q ∃y(x ·Q y) = 1Q
10		dmopab2 2541	. . 3 ⊢ (∀x ∈ Q ∃y(x ·Q y) = 1Q ↔ dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)} = Q)
11	9, 10	mpbi 164	. 2 ⊢ dom {⟨x, y⟩∣(x ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)} = Q
12	2, 11	eqtr 1119	1 ⊢ dom *Q = Q

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {copab 2055  dom cdm 2410   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777

This theorem is referenced by:  reclem1pr 3950  reclem2pr 3951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-rq 3835  df-1q 3837

metamath.org