Theorem dmres 2584

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (A ↾ B) = (B ∩ dom A)

Proof of Theorem dmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
2	1	opelres 2579	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A ↾ B) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B))
3	2	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃y⟨x, y⟩ ∈ (A ↾ B) ↔ ∃y(⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B))
4		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
5	4	eldm2 2528	. . . 4 ⊢ (x ∈ dom (A ↾ B) ↔ ∃y⟨x, y⟩ ∈ (A ↾ B))
6	4	eldm2 2528	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ dom A ↔ ∃y⟨x, y⟩ ∈ A)
7	6	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ dom A ∧ x ∈ B) ↔ (∃y⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B))
8		19.41v 963	. . . . 5 ⊢ (∃y(⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B) ↔ (∃y⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B))
9	7, 8	bitr4 154	. . . 4 ⊢ ((x ∈ dom A ∧ x ∈ B) ↔ ∃y(⟨x, y⟩ ∈ A ∧ x ∈ B))
10	3, 5, 9	3bitr4r 159	. . 3 ⊢ ((x ∈ dom A ∧ x ∈ B) ↔ x ∈ dom (A ↾ B))
11	10	ineqri 1637	. 2 ⊢ (dom A ∩ B) = dom (A ↾ B)
12		incom 1636	. 2 ⊢ (dom A ∩ B) = (B ∩ dom A)
13	11, 12	eqtr3 1121	1 ⊢ dom (A ↾ B) = (B ∩ dom A)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486  ⟨cop 1810  dom cdm 2410   ↾ cres 2412

This theorem is referenced by:  ssdmres 2585  dmresexg 2586  ndmima 2623  funimacnv 2711  fnresdisj 2732  nfvres 2850  funfvima 2904  tz7.44-2 2967  tz7.44-3 2968  frfnom 2989  tz7.48-2 2995  sbthlem5 3353  sbthlem7 3355  imadomg 3616  dmaddpi 3812  dmmulpi 3813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428  df-res 2430

metamath.org