Theorem dmresexg 2586

Description: The domain of a restriction to a set exists.

Assertion

Ref	Expression
dmresexg	⊢ (B ∈ C → dom (A ↾ B) ∈ V)

Proof of Theorem dmresexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inex1g 1699	. 2 ⊢ (B ∈ C → (B ∩ dom A) ∈ V)
2		dmres 2584	. . 3 ⊢ dom (A ↾ B) = (B ∩ dom A)
3	2	eleq1i 1152	. 2 ⊢ (dom (A ↾ B) ∈ V ↔ (B ∩ dom A) ∈ V)
4	1, 3	sylibr 175	1 ⊢ (B ∈ C → dom (A ↾ B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 2   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∩ cin 1486  dom cdm 2410   ↾ cres 2412

This theorem is referenced by:  resfunexg 2717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-dm 2428  df-res 2430

metamath.org