Theorem domtr 3320

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((A ≼ B ∧ B ≼ C) → A ≼ C)

Proof of Theorem domtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 3278	. 2 ⊢ Rel ≼
2		eeanv 980	. . . 4 ⊢ (∃g∃f(g:x–1-1→y ∧ f:y–1-1→z) ↔ (∃g g:x–1-1→y ∧ ∃f f:y–1-1→z))
3		f1co 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((f:y–1-1→z ∧ g:x–1-1→y) → (f ∘ g):x–1-1→z)
4	3	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((g:x–1-1→y ∧ f:y–1-1→z) → (f ∘ g):x–1-1→z)
5		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
6	5	f1dom 3302	. . . . . 6 ⊢ ((f ∘ g):x–1-1→z → x ≼ z)
7	4, 6	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((g:x–1-1→y ∧ f:y–1-1→z) → x ≼ z)
8	7	19.23aivv 953	. . . 4 ⊢ (∃g∃f(g:x–1-1→y ∧ f:y–1-1→z) → x ≼ z)
9	2, 8	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((∃g g:x–1-1→y ∧ ∃f f:y–1-1→z) → x ≼ z)
10		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
11	10	brdom 3283	. . 3 ⊢ (x ≼ y ↔ ∃g g:x–1-1→y)
12		visset 1350	. . . 4 ⊢ z ∈ V
13	12	brdom 3283	. . 3 ⊢ (y ≼ z ↔ ∃f f:y–1-1→z)
14	9, 11, 13	syl2anb 350	. 2 ⊢ ((x ≼ y ∧ y ≼ z) → x ≼ z)
15		domrefg 3297	. . 3 ⊢ (x ∈ V → x ≼ x)
16	5, 15	ax-mp 6	. 2 ⊢ x ≼ x
17	1, 14, 16	vtoclrbr 2450	1 ⊢ ((A ≼ B ∧ B ≼ C) → A ≼ C)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ∘ ccom 2414  –1-1→wf1 2419   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  endomtr 3325  domentr 3326  undom 3342  sdomdomtr 3370  fodom 3613  imadomg 3616  sucdom 3648  unxpdomlem 3649  unxpdom2 3651  sucxpdom 3652  ondomon 3662  cdadom3 3729  cdainf 3731  infxpidmlem8 4940  infxpidmlem11 4943  infxpidmlem12 4944  infunabs 4946  infcdaabs 4947  infdif 4948  infmap1 4950  alephexp1 4954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org