Theorem ecdmn0 3217

Description: An equivalence class is not empty in its domain.

Hypothesis

Ref	Expression
ecdmn0.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecdmn0	⊢ (A ∈ dom R ↔ ¬ [A]R = ∅)

Proof of Theorem ecdmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
2		ecdmn0.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
3	1, 2	elec 3216	. . 3 ⊢ (x ∈ [A]R ↔ ARx)
4	3	biex 733	. 2 ⊢ (∃x x ∈ [A]R ↔ ∃x ARx)
5		n0 1714	. 2 ⊢ (¬ [A]R = ∅ ↔ ∃x x ∈ [A]R)
6	2	eldm 2527	. 2 ⊢ (A ∈ dom R ↔ ∃x ARx)
7	4, 5, 6	3bitr4r 159	1 ⊢ (A ∈ dom R ↔ ¬ [A]R = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  [cec 3198

This theorem is referenced by:  0nelqs 3234  ecelqsdm 3235  eceqopreq 3249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202

metamath.org