Theorem ecelqsdm 3235

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set.

Hypotheses

Ref	Expression
ecelqsdm.1	⊢ B ∈ V
ecelqsdm.2	⊢ Er R
ecelqsdm.3	⊢ dom R = A

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	⊢ ([B]R ∈ (A / R) → B ∈ A)

Proof of Theorem ecelqsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm.2	. . . 4 ⊢ Er R
2		ecelqsdm.3	. . . 4 ⊢ dom R = A
3	1, 2	0nelqs 3234	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ (A / R)
4		ecelqsdm.1	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
5	4	ecdmn0 3217	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ dom R ↔ ¬ [B]R = ∅)
6	2	eleq2i 1153	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ dom R ↔ B ∈ A)
7	5, 6	bitr3 153	. . . . 5 ⊢ (¬ [B]R = ∅ ↔ B ∈ A)
8	7	bicon1i 193	. . . 4 ⊢ (¬ B ∈ A ↔ [B]R = ∅)
9		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ ([B]R = ∅ → ([B]R ∈ (A / R) ↔ ∅ ∈ (A / R)))
10	8, 9	sylbi 174	. . 3 ⊢ (¬ B ∈ A → ([B]R ∈ (A / R) ↔ ∅ ∈ (A / R)))
11	3, 10	mtbiri 539	. 2 ⊢ (¬ B ∈ A → ¬ [B]R ∈ (A / R))
12	11	a3i 69	1 ⊢ ([B]R ∈ (A / R) → B ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  dom cdm 2410  Er wer 3197  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  brecop2 3243  th3qlem1 3250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org