Theorem ecid 3236

Description: A set is equal to its converse epsilon coset. (Note: converse epsilon is not an equivalence relation.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecid.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecid	⊢ [A]◡E = A

Proof of Theorem ecid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecid.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2	1	ec2 3203	. 2 ⊢ [A]◡E = {y∣A◡Ey}
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
4	1, 3	brcnv 2519	. . . 4 ⊢ (A◡Ey ↔ yEA)
5	3, 1	epelc 2123	. . . 4 ⊢ (yEA ↔ y ∈ A)
6	4, 5	bitr 151	. . 3 ⊢ (A◡Ey ↔ y ∈ A)
7	6	biabi 1181	. 2 ⊢ {y∣A◡Ey} = {y∣y ∈ A}
8		abid2 1186	. 2 ⊢ {y∣y ∈ A} = A
9	2, 7, 8	3eqtr 1123	1 ⊢ [A]◡E = A

Syntax hints:  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Ecep 2056  ^◡ccnv 2409  [cec 3198

This theorem is referenced by:  qsid 3237  addcnsrec 4057  mulcnsrec 4058

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202

metamath.org