Theorem ecoprass 3256

Description: Lemma used in proving associative laws via equivalence classes.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprass.1	⊢ D = ((S × S) / R)
ecoprass.2	⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
ecoprass.3	⊢ (((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
ecoprass.4	⊢ (((G ∈ S ∧ H ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
ecoprass.5	⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (N ∈ S ∧ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
ecoprass.6	⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) → (G ∈ S ∧ H ∈ S))
ecoprass.7	⊢ (((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (N ∈ S ∧ Q ∈ S))
ecoprass.8	⊢ J = L
ecoprass.9	⊢ K = M

Assertion

Ref	Expression
ecoprass	⊢ ((A ∈ D ∧ B ∈ D ∧ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,A   x,B,y,z,w,v,u   x,C,y,z,w,v,u   x,F,y,z,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   x,S,y,z,w,v,u   z,D,w,v,u

Proof of Theorem ecoprass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprass.1	. 2 ⊢ D = ((S × S) / R)
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = (AF[⟨z, w⟩]R))
3	2	opreq1d 3012	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R))
4		opreq1 3006	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
5	3, 4	cleq12d 1115	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ((([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R))))
6		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF[⟨z, w⟩]R) = (AFB))
7	6	opreq1d 3012	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)F[⟨v, u⟩]R))
8		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = (BF[⟨v, u⟩]R))
9	8	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)))
10	7, 9	cleq12d 1115	. 2 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (((AF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = (AF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R))))
11		opreq2 3007	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → ((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = ((AFB)FC))
12		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (BF[⟨v, u⟩]R) = (BFC))
13	12	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) = (AF(BFC)))
14	11, 13	cleq12d 1115	. 2 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (((AFB)F[⟨v, u⟩]R) = (AF(BF[⟨v, u⟩]R)) ↔ ((AFB)FC) = (AF(BFC))))
15		ecoprass.2	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R) = [⟨G, H⟩]R)
16	15	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
17	16	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R))
18		ecoprass.4	. . . . . . 7 ⊢ (((G ∈ S ∧ H ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
19		ecoprass.6	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) → (G ∈ S ∧ H ∈ S))
20	18, 19	sylan 343	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨G, H⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
21	17, 20	eqtrd 1128	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S)) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
22	21	3impa 609	. . . 4 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨J, K⟩]R)
23		ecoprass.8	. . . . 5 ⊢ J = L
24		ecoprass.9	. . . . 5 ⊢ K = M
25		opeq12 1878	. . . . . 6 ⊢ ((J = L ∧ K = M) → ⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩)
26		eceq2 3215	. . . . . 6 ⊢ (⟨J, K⟩ = ⟨L, M⟩ → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
27	25, 26	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((J = L ∧ K = M) → [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R)
28	23, 24, 27	mp2an 520	. . . 4 ⊢ [⟨J, K⟩]R = [⟨L, M⟩]R
29	22, 28	syl6eq 1140	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
30		ecoprass.3	. . . . . . 7 ⊢ (((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R) = [⟨N, Q⟩]R)
31	30	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
32	31	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ ((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R))
33		ecoprass.5	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (N ∈ S ∧ Q ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
34		ecoprass.7	. . . . . 6 ⊢ (((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (N ∈ S ∧ Q ∈ S))
35	33, 34	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ ((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF[⟨N, Q⟩]R) = [⟨L, M⟩]R)
36	32, 35	eqtrd 1128	. . . 4 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ ((z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S))) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
37	36	3impb 610	. . 3 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)) = [⟨L, M⟩]R)
38	29, 37	eqtr4d 1131	. 2 ⊢ (((x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧ (z ∈ S ∧ w ∈ S) ∧ (v ∈ S ∧ u ∈ S)) → (([⟨x, y⟩]RF[⟨z, w⟩]R)F[⟨v, u⟩]R) = ([⟨x, y⟩]RF([⟨z, w⟩]RF[⟨v, u⟩]R)))
39	1, 5, 10, 14, 38	3ecoptocl 3241	1 ⊢ ((A ∈ D ∧ B ∈ D ∧ C ∈ D) → ((AFB)FC) = (AF(BFC)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  addasspq 3857  mulasspq 3859  addasssr 3991  mulasssr 3993  axaddass 4072  axmulass 4073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-ec 3202  df-qs 3205

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