Theorem ecoptocl 3239

Description: Implicit substitution of class for equivalence class of ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoptocl.1	⊢ S = ((B × C) / R)
ecoptocl.2	⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
ecoptocl.3	⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → φ)

Assertion

Ref	Expression
ecoptocl	⊢ (A ∈ S → &ps$;)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y   x,R,y   ψ,x,y

Proof of Theorem ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoptocl.1	. . 3 ⊢ S = ((B × C) / R)
2	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (A ∈ S ↔ A ∈ ((B × C) / R))
3		elqsi 3228	. . 3 ⊢ (A ∈ ((B × C) / R) → ∃z(z ∈ (B × C) ∧ A = [z]R))
4		cleqid 1102	. . . . . 6 ⊢ (B × C) = (B × C)
5		eceq2 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨x, y⟩ = z → [⟨x, y⟩]R = [z]R)
6	5	cleq2d 1112	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ = z → (A = [⟨x, y⟩]R ↔ A = [z]R))
7	6	imbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ = z → ((A = [⟨x, y⟩]R → ψ) ↔ (A = [z]R → ψ)))
8		ecoptocl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
9	8	cleqcoms 1104	. . . . . . . 8 ⊢ (A = [⟨x, y⟩]R → (φ ↔ ψ))
10		ecoptocl.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → φ)
11	9, 10	syl5bi 183	. . . . . . 7 ⊢ (A = [⟨x, y⟩]R → ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → ψ))
12	11	com12 13	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ C) → (A = [⟨x, y⟩]R → ψ))
13	4, 7, 12	optocl 2469	. . . . 5 ⊢ (z ∈ (B × C) → (A = [z]R → ψ))
14	13	imp 277	. . . 4 ⊢ ((z ∈ (B × C) ∧ A = [z]R) → ψ)
15	14	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃z(z ∈ (B × C) ∧ A = [z]R) → ψ)
16	3, 15	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ ((B × C) / R) → ψ)
17	2, 16	sylbi 174	1 ⊢ (A ∈ S → ψ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  2ecoptocl 3240  3ecoptocl 3241  mulidpq 3863  recmulpq 3864  halfpq 3876  0idsr 4000  1idsr 4001  00sr 4002  recexsrlem 4006  map2psrpr 4014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org