Theorem ecqs 3233

Description: Equivalence class in terms of quotient set.

Hypotheses

Ref	Expression
ecqs.1	⊢ A ∈ V
ecqs.2	⊢ R ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecqs	⊢ [A]R = ∪({A} / R)

Proof of Theorem ecqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqs.2	. . . 4 ⊢ R ∈ V
2		ecexg 3204	. . . 4 ⊢ (R ∈ V → [A]R ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ [A]R ∈ V
4	3	unisn 1932	. 2 ⊢ ∪{[A]R} = [A]R
5		ecqs.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
6	5	snec 3232	. . 3 ⊢ {[A]R} = ({A} / R)
7	6	unieqi 1928	. 2 ⊢ ∪{[A]R} = ∪({A} / R)
8	4, 7	eqtr3 1121	1 ⊢ [A]R = ∪({A} / R)

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  ∪cuni 1919  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org