Theorem eeanv 980

Description: Rearrange existential quantifiers.

Assertion

Ref	Expression
eeanv	⊢ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ))

Distinct variable group(s):   φ,y   ψ,x

Proof of Theorem eeanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistr 967	. 2 ⊢ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ↔ ∃x(φ ∧ ∃yψ))
2		ax-17 925	. . . 4 ⊢ (ψ → ∀xψ)
3	2	hbex 701	. . 3 ⊢ (∃yψ → ∀x∃yψ)
4	3	19.41 774	. 2 ⊢ (∃x(φ ∧ ∃yψ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ))
5	1, 4	bitr 151	1 ⊢ (∃x∃y(φ ∧ ψ) ↔ (∃xφ ∧ ∃yψ))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678

This theorem is referenced by:  eeeanv 981  ee4anv 982  2eu4 1070  reeanv 1316  cgsex2g 1368  cgsex4g 1369  vtocl2 1379  cla4e2gv 1398  copsex2g 1903  opelopabg 2115  fununi 2705  tfrlem7 2955  ener 3313  domtr 3320  unen 3338  sbthlem10 3358  aceq5lem4 3561  zornlem6 3608  genpn0 3900  genpnnp 3902  mulgt0sr 4008  axnegex 4078  creur 4532  creui 4533  uzind 4603  replimt 4798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679

metamath.org