Theorem el 1860

Description: Every set is a member of some other set.

Assertion

Ref	Expression
el	⊢ ∃y x ∈ y

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . 3 ⊢ x ∈ V
2	1	snid 1830	. 2 ⊢ <<>x ∈ {x}
3		snex 1859	. . 3 ⊢ {x} ∈ V
4		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (y = {x} → (x ∈ y ↔ x ∈ {x}))
5	3, 4	cla4ev 1401	. 2 ⊢ (x ∈ {x} → ∃y x ∈ y)
6	2, 5	ax-mp 6	1 ⊢ ∃y x ∈ y

Syntax hints:  ∃wex 678   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092  {csn 1808

This theorem is referenced by:  axpownd 3747  zfcndinf 3764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org