Theorem elat2 5739

Description: Expanded membership relation for the set of atoms, i.e. the predicate "is an atom (of the Hilbert lattice)." An atom is a non-zero element of a lattice such that anything less than it is zero, i.e. it is a smallest non-zero element of the lattice.

Assertion

Ref	Expression
elat2	⊢ (A ∈ Atoms ↔ (A ∈ Cℋ ∧ (¬ A = 0ℋ ∧ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)))))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem elat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elat 5738	. 2 ⊢ (A ∈ Atoms ↔ (A ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ A))
2		h0elch 5159	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
3		cvbr2t 5715	. . . . 5 ⊢ ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → (0ℋ ⋖ A ↔ (0ℋ ⊂ A ∧ ∀x ∈ Cℋ ((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A))))
4	2, 3	mpan 518	. . . 4 ⊢ (A ∈ Cℋ → (0ℋ ⋖ A ↔ (0ℋ ⊂ A ∧ ∀x ∈ Cℋ ((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A))))
5		ch0psst 5370	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Cℋ → (0ℋ ⊂ A ↔ ¬ A = 0ℋ))
6		ch0psst 5370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Cℋ → (0ℋ ⊂ x ↔ ¬ x = 0ℋ))
7	6	imbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊂ x → x = A) ↔ (¬ x = 0ℋ → x = A)))
8	7	imbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((x ⊆ A → (0ℋ ⊂ x → x = A)) ↔ (x ⊆ A → (¬ x = 0ℋ → x = A))))
9		impexp 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A) ↔ (0ℋ ⊂ x → (x ⊆ A → x = A)))
10		bi2.04 141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0ℋ ⊂ x → (x ⊆ A → x = A)) ↔ (x ⊆ A → (0ℋ ⊂ x → x = A)))
11	9, 10	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ (((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A) ↔ (x ⊆ A → (0ℋ ⊂ x → x = A)))
12		orcom 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x = A ∨ x = 0ℋ) ↔ (x = 0ℋ ∨ x = A))
13		df-or 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x = 0ℋ ∨ x = A) ↔ (¬ x = 0ℋ → x = A))
14	12, 13	bitr 151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x = A ∨ x = 0ℋ) ↔ (¬ x = 0ℋ → x = A))
15	14	imbi2i 160	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)) ↔ (x ⊆ A → (¬ x = 0ℋ → x = A)))
16	8, 11, 15	3bitr4g 428	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A) ↔ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ))))
17	16	birala 1228	. . . . . 6 ⊢ (∀x ∈ Cℋ ((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A) ↔ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)))
18	17	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Cℋ → (∀x ∈ Cℋ ((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A) ↔ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ))))
19	5, 18	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (A ∈ Cℋ → ((0ℋ ⊂ A ∧ ∀x ∈ Cℋ ((0ℋ ⊂ x ∧ x ⊆ A) → x = A)) ↔ (¬ A = 0ℋ ∧ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)))))
20	4, 19	bitr2d 407	. . 3 ⊢ (A ∈ Cℋ → ((¬ A = 0ℋ ∧ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ))) ↔ 0ℋ ⋖ A))
21	20	pm5.32i 489	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ (¬ A = 0ℋ ∧ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)))) ↔ (A ∈ Cℋ ∧ 0ℋ ⋖ A))
22	1, 21	bitr4 154	1 ⊢ (A ∈ Atoms ↔ (A ∈ Cℋ ∧ (¬ A = 0ℋ ∧ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ A → (x = A ∨ x = 0ℋ)))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054   C_ℋ cch 4968  0_ℋc0h 4974  Atomscat 4980   ⋖ ccv 4981

This theorem is referenced by:  atn0 5743  atss 5744  h1dat 5747  atom1d 5750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  9A HREF="df-im.html">df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-ch0 5157  df-cv 5712  df-at 5737

metamath.org