Theorem eldif 1496

Description: Expansion of membership in a class difference.

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (A ∈ (B ∖ C) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ C))

Proof of Theorem eldif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1354	. 2 ⊢ (A ∈ (B ∖ C) → A ∈ V)
2		elisset 1354	. . 3 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
3	2	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ B ∧ ¬ A ∈ C) → A ∈ V)
4		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ B ↔ A ∈ B))
5		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ C ↔ A ∈ C))
6	5	negbid 463	. . . 4 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ C ↔ ¬ A ∈ C))
7	4, 6	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (x = A → ((x ∈ B ∧ ¬ x ∈ C) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ C)))
8		df-dif 1489	. . 3 ⊢ (B ∖ C) = {x∣(x ∈ B ∧ ¬ x ∈ C)}
9	7, 8	elab2g 1418	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ (B ∖ C) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ C)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 504	1 ⊢ (A ∈ (B ∖ C) ↔ (A ∈ B ∧ ¬ A ∈ C))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484

This theorem is referenced by:  hbdif 1590  eldifi 1591  eldifn 1592  neldif 1594  difdif 1595  ddif 1597  ssconb 1598  sscon 1599  ssdif 1600  dfss4 1667  dfun2 1668  dfin2 1669  difin 1670  symdif2 1690  dfnul2 1709  disj2 1735  disj3 1736  undif4 1744  ssdif0 1748  pssnel 1752  difin0ss 1753  inssdif0 1754  iundif2 2032  iindif2 2033  ordunidif 2260  onmindif 2312  onmindif2 2313  imadif 2714  brsdom 3286  brsdom2 3363  limenpsi 3400  php3 3411  unblem1 3431  unfilem1 3438  inf5 3472  kmlem3 3582  kmlem4 3583  elni 3798  divval 4217  leltt 4278  seqlem2 4663  ruclem8 4892  strlem1 5691  strlem5 5696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489

metamath.org