Theorem elfv 2830

Description: Membership in a function value.

Hypothesis

Ref	Expression
elfv.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elfv	⊢ (A ∈ (F ‘B) ↔ ∃x(A ∈ x ∧ ∀y(BFy ↔ y = x)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv.1	. . . 4 ⊢ B ∈ V
2	1	fv2 2828	. . 3 ⊢ (F ‘B) = ∪{x∣∀y(BFy ↔ y = x)}
3	2	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (A ∈ (F ‘B) ↔ A ∈ ∪{x∣∀y(BFy ↔ y = x)})
4		eluniab 1926	. 2 ⊢ (A ∈ ∪{x∣∀y(BFy ↔ y = x)} ↔ ∃x(A ∈ x ∧ ∀y(BFy ↔ y = x)))
5	3, 4	bitr 151	1 ⊢ (A ∈ (F ‘B) ↔ ∃x(A ∈ x ∧ ∀y(BFy ↔ y = x)))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  fv3 2839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org