Theorem elmap 3265

Description: Membership relation for set exponentiation.

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	⊢ A ∈ V
elmap.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elmap	⊢ (C ∈ (A ↑m B) ↔ C:B–→A)

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2		elmap.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
3	1, 2	mapval 3264	. . 3 ⊢ (A ↑m B) = {f∣f:B–→A}
4	3	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (C ∈ (A ↑m B) ↔ C ∈ {f∣f:B–→A})
5		fex 2771	. . . 4 ⊢ (B ∈ V → (C:B–→A → C ∈ V))
6	2, 5	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (C:B–→A → C ∈ V)
7		feq1 2748	. . 3 ⊢ (f = C → (f:B–→A ↔ C:B–→A))
8	6, 7	elab3g 1420	. 2 ⊢ (C ∈ {f∣f:B–→A} ↔ C:B–→A)
9	4, 8	bitr 151	1 ⊢ (C ∈ (A ↑m B) ↔ C:B–→A)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127  {cab 1090   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  –→wf 2418  (class class class)co 3001   ↑_m cm 3258

This theorem is referenced by:  mapsn 3269  map1 3335  pw2en 3348  mapenlem1 3384  mapenlem2 3385  mapdom2lem 3388  mapdom2 3389  mapxpen 3390  xpmapenlem5 3395  mapunen 3397  infmap2lem2 4952  infmap2 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-map 3259

metamath.org