Theorem elnn0z 4574

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (A ∈ ℕ0 ↔ (A ∈ ℤ ∧ 0 ≤ A))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 4536	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ0 ↔ (A ∈ ℕ ∨ A = 0))
2		elnnz 4572	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ ↔ (A ∈ ℤ ∧ 0 < A))
3		cleqcom 1103	. . 3 ⊢ (A = 0 ↔ 0 = A)
4	2, 3	orbi12i 216	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∨ A = 0) ↔ ((A ∈ ℤ ∧ 0 < A) ∨ 0 = A))
5		id 9	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℤ → A ∈ ℤ)
6		0z 4573	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (0 = A → (0 ∈ ℤ ↔ A ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 168	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → A ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 275	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℤ ∨ 0 = A) → A ∈ ℤ)
10		orc 225	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℤ → (A ∈ ℤ ∨ 0 = A))
11	9, 10	impbi 139	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℤ ∨ 0 = A) ↔ A ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 368	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℤ ∨ 0 = A) ∧ (0 < A ∨ 0 = A)) ↔ (A ∈ ℤ ∧ (0 < A ∨ 0 = A)))
13		ordir 453	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℤ ∧ 0 < A) ∨ 0 = A) ↔ ((A ∈ ℤ ∨ 0 = A) ∧ (0 < A ∨ 0 = A)))
14		zret 4567	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℤ → A ∈ ℝ)
15		ax0re 4063	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		leloet 4284	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (0 ≤ A ↔ (0 < A ∨ 0 = A)))
17	15, 16	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → (0 ≤ A ↔ (0 < A ∨ 0 = A)))
18	14, 17	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℤ → (0 ≤ A ↔ (0 < A ∨ 0 = A)))
19	18	pm5.32i 489	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 0 ≤ A) ↔ (A ∈ ℤ ∧ (0 < A ∨ 0 = A)))
20	12, 13, 19	3bitr4 158	. 2 ⊢ (((A ∈ ℤ ∧ 0 < A) ∨ 0 = A) ↔ (A ∈ ℤ ∧ 0 ≤ A))
21	1, 4, 20	3bitr 155	1 ⊢ (A ∈ ℕ0 ↔ (A ∈ ℤ ∧ 0 ≤ A))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  ℕ₀cn0 4094  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  nn0z 4583  znnen 4930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org