Theorem elnnz1 4581

Description: Natural number property expressed in terms of integers.

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	⊢ (A ∈ ℕ ↔ (A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A))

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzt 4579	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → A ∈ ℤ)
2		nnge1t 4439	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → 1 ≤ A)
3	1, 2	jca 236	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ → (A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A))
4		lt01 4377	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
5		ax1re 4064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lt0neg2t 4371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ -1 < 0))
7	5, 6	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 1 ↔ -1 < 0)
8	4, 7	mpbi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
9		lenegt 4368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (1 ≤ A ↔ -A ≤ -1))
10	5, 9	mpan 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 ≤ A ↔ -A ≤ -1))
11		renegclt 4172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)
12	5	renegcl 4171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		lelttrt 4289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-A ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((-A ≤ -1 ∧ -1 < 0) → -A < 0))
15	13, 14	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-A ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → ((-A ≤ -1 ∧ -1 < 0) → -A < 0))
16	12, 15	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-A ∈ ℝ → ((-A ≤ -1 ∧ -1 < 0) → -A < 0))
17		ltlet 4286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-A < 0 → -A ≤ 0))
18	13, 17	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-A ∈ ℝ → (-A < 0 → -A ≤ 0))
19	16, 18	syld 27	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-A ∈ ℝ → ((-A ≤ -1 ∧ -1 < 0) → -A ≤ 0))
20	11, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℝ → ((-A ≤ -1 ∧ -1 < 0) → -A ≤ 0))
21	20	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → (-A ≤ -1 → (-1 < 0 → -A ≤ 0)))
22	10, 21	sylbid 178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 ≤ A → (-1 < 0 → -A ≤ 0)))
23	22	imp 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ≤ A) → (-1 < 0 → -A ≤ 0))
24	8, 23	mpi 44	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ≤ A) → -A ≤ 0)
25		leltt 4278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-A ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -A))
26	13, 25	mpan2 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-A ∈ ℝ → (-A ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -A))
27	11, 26	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (-A ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -A))
28	27	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ≤ A) → (-A ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -A))
29	24, 28	mpbid 170	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 1 ≤ A) → ¬ 0 < -A)
30		zret 4567	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℤ → A ∈ ℝ)
31	29, 30	sylan 343	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → ¬ 0 < -A)
32		nngt0t 4441	. . . . . 6 ⊢ (-A ∈ ℕ → 0 < -A)
33	31, 32	nsyl 102	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → ¬ -A ∈ ℕ)
34		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = 0 → (1 ≤ A ↔ 1 ≤ 0))
35	5, 13	lelt 4301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1)
36	34, 35	syl6bb 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = 0 → (1 ≤ A ↔ ¬ 0 < 1))
37	36	bicon2d 404	. . . . . . . 8 ⊢ (A = 0 → (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ A))
38	4, 37	mpbii 168	. . . . . . 7 ⊢ (A = 0 → ¬ 1 ≤ A)
39	38	con2i 89	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ A → ¬ A = 0)
40	39	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → ¬ A = 0)
41	33, 40	jca 236	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → (¬ -A ∈ ℕ ∧ ¬ A = 0))
42		ioran 254	. . . 4 ⊢ (¬ (-A ∈ ℕ ∨ A = 0) ↔ (¬ -A ∈ ℕ ∧ ¬ A = 0))
43	41, 42	sylibr 175	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → ¬ (-A ∈ ℕ ∨ A = 0))
44		elz 4565	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℤ ↔ (A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)))
45		pm3.27 260	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)) → (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ))
46		3orrot 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0 ∨ A ∈ ℕ) ↔ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ))
47		df-3or 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0 ∨ A ∈ ℕ) ↔ ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0) ∨ A ∈ ℕ))
48	46, 47	bitr3 153	. . . . . . 7 ⊢ ((A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ) ↔ ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0) ∨ A ∈ ℕ))
49	45, 48	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)) → ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0) ∨ A ∈ ℕ))
50	44, 49	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℤ → ((-A ∈ ℕ ∨ A = 0) ∨ A ∈ ℕ))
51	50	ord 202	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℤ → (¬ (-A ∈ ℕ ∨ A = 0) → A ∈ ℕ))
52	51	adantr 306	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → (¬ (-A ∈ ℕ ∨ A = 0) → A ∈ ℕ))
53	43, 52	mpd 46	. 2 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A) → A ∈ ℕ)
54	3, 53	impbi 139	1 ⊢ (A ∈ ℕ ↔ (A ∈ ℤ ∧ 1 ≤ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033  -cneg 4090   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  nnz 4582  elnn0nn 4593  uzind 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-z 4564

metamath.org