Theorem elnp 3886

Description: Membership in positive reals.

Assertion

Ref	Expression
elnp	⊢ (A ∈ P ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem elnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1354	. 2 ⊢ (A ∈ P → A ∈ V)
2		pssss 1567	. . . 4 ⊢ (A ⊂ Q → A ⊆ Q)
3		nqex 3843	. . . . 5 ⊢ Q ∈ V
4	3	ssex 1700	. . . 4 ⊢ (A ⊆ Q → A ∈ V)
5	2, 4	syl 12	. . 3 ⊢ (A ⊂ Q → A ∈ V)
6	5	ad2antlr 321	. 2 ⊢ (((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)) → A ∈ V)
7		psseq2 1560	. . . . 5 ⊢ (z = A → (∅ ⊂ z ↔ ∅ ⊂ A))
8		psseq1 1559	. . . . 5 ⊢ (z = A → (z ⊂ Q ↔ A ⊂ Q))
9	7, 8	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (z = A → ((∅ ⊂ z ∧ z ⊂ Q) ↔ (∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q)))
10		eleq2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (z = A → (y ∈ z ↔ y ∈ A))
11	10	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (z = A → ((y <Q x → y ∈ z) ↔ (y <Q x → y ∈ A)))
12	11	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (z = A → (∀y(y <Q x → y ∈ z) ↔ ∀y(y <Q x → y ∈ A)))
13		rexeq 1325	. . . . . 6 ⊢ (z = A → (∃y ∈ z x <Q y ↔ ∃y ∈ A x <Q y))
14	12, 13	anbi12d 476	. . . . 5 ⊢ (z = A → ((∀y(y <Q x → y ∈ z) ∧ ∃y ∈ z x <Q y) ↔ (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)))
15	14	raleqd 1327	. . . 4 ⊢ (z = A → (∀x ∈ z (∀y(y <Q x → y ∈ z) ∧ ∃y ∈ z x <Q y) ↔ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)))
16	9, 15	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (z = A → (((∅ ⊂ z ∧ z ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ z (∀y(y <Q x → y ∈ z) ∧ ∃y ∈ z x <Q y)) ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y))))
17		df-np 3880	. . 3 ⊢ P = {z∣((∅ ⊂ z ∧ z ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ z (∀y(y <Q x → y ∈ z) ∧ ∃y ∈ z x <Q y))}
18	16, 17	elab2g 1418	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ P ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y))))
19	1, 6, 18	pm5.21nii 504	1 ⊢ (A ∈ P ↔ ((∅ ⊂ A ∧ A ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ A (∀y(y <Q x → y ∈ A) ∧ ∃y ∈ A x <Q y)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  prn0 3887  prpssnq 3888  prcdpq 3891  prnmax 3893  genpcl 3905  1pr 3911  ltexprlem5 3940  reclem2pr 3951  suplem1pr 3955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org