Theorem elon 2208

Description: An ordinal number is an ordinal set.

Hypothesis

Ref	Expression
elon.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elon	⊢ (A ∈ On ↔ Ord A)

Proof of Theorem elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elon.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		elong 2207	. 2 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ On ↔ Ord A))
3	1, 2	ax-mp 6	1 ⊢ (A ∈ On ↔ Ord A)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onfr 2237  ordon 2238  ssorduni 2249  0elon 2277  dfom2 2374  omsson 2377  rdglim2 2987  isfinite2 3437  r1ord 3499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org