Theorem elong 2207

Description: An ordinal number is an ordinal set.

Assertion

Ref	Expression
elong	⊢ (A ∈ B → (A ∈ On ↔ Ord A))

Proof of Theorem elong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeq 2206	. 2 ⊢ (x = A → (Ord x ↔ Ord A))
2		df-on 2203	. 2 ⊢ On = {x∣Ord x}
3	1, 2	elab2g 1418	1 ⊢ (A ∈ B → (A ∈ On ↔ Ord A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  elon 2208  eloni 2209  elon2 2210  ordelon 2222  onin 2229  onprc 2240  onunit 2250  limelon 2286  suceloni 2314  ordsuc 2318  onzsl 2367  ondomon 3662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org