Theorem elspansn2t 5472

Description: Membership in the span of a singleton. All members are collinear with the generating vector.

Assertion

Ref	Expression
elspansn2t	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ ¬ B = 0v) → (A ∈ (span ‘{B}) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))

Proof of Theorem elspansn2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnt 5464	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℋ → (span ‘{B}) = (⊥ ‘(⊥ ‘{B})))
2	1	eleq2d 1156	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℋ → (A ∈ (span ‘{B}) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
3	2	adantl 305	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A ∈ (span ‘{B}) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
4	3	3adant3 599	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ ¬ B = 0v) → (A ∈ (span ‘{B}) ↔ A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
5		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B}))))
6		id 9	. . . . . . . 8 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → A = if(A ∈ ℋ , A, 0v))
7		opreq1 3006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A ·i B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B))
8	7	opreq1d 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((A ·i B) / (B ·i B)) = ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)))
9	8	opreq1d 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B))
10	6, 9	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))
11	5, 10	bibi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)) ↔ (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B))))
12	11	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((¬ B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B))) ↔ (¬ B = 0v → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))))
13		cleq1 1107	. . . . . . 7 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (B = 0v ↔ if(B ∈ ℋ , B, 0v) = 0v))
14	13	negbid 463	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (¬ B = 0v ↔ ¬ if(B ∈ ℋ , B, 0v) = 0v))
15		sneq 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → {B} = {if(B ∈ ℋ , B, 0v)})
16	15	fveq2d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (⊥ ‘{B}) = (⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)}))
17	16	fveq2d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) = (⊥ ‘(⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)})))
18	17	eleq2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)}))))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
20		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (B ·i B) = (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i B))
21		opreq2 3007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i B) = (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
22	20, 21	eqtrd 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (B ·i B) = (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
23	19, 22	opreq12d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) = ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
24		id 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → B = if(B ∈ ℋ , B, 0v))
25	23, 24	opreq12d 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))) ·s if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
26	25	cleq2d 1112	. . . . . . 7 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))) ·s if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
27	18, 26	bibi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B)) ↔ (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))) ·s if(B ∈ ℋ , B, 0v)))))
28	14, 27	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((¬ B = 0v → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) / (B ·i B)) ·s B))) ↔ (¬ if(B ∈ ℋ , B, 0v) = 0v → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))) ·s if(B ∈ ℋ , B, 0v))))))
29		ax-hvzercl 4987	. . . . . . 7 ⊢ 0v ∈ ℋ
30	29	elimel 1793	. . . . . 6 ⊢ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ ℋ
31	29	elimel 1793	. . . . . 6 ⊢ if(B ∈ ℋ , B, 0v) ∈ ℋ
32	30, 31	h1de2b 5459	. . . . 5 ⊢ (¬ if(B ∈ ℋ , B, 0v) = 0v → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{if(B ∈ ℋ , B, 0v)})) ↔ if(A ∈ ℋ , A, 0v) = (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) / (if(B ∈ ℋ , B, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v))) ·s if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
33	12, 28, 32	dedth2h 1787	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (¬ B = 0v → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B))))
34	33	imp 277	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ ¬ B = 0v) → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))
35	34	3impa 609	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ ¬ B = 0v) → (A ∈ (⊥ ‘(⊥ ‘{B})) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))
36	4, 35	bitrd 406	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ∧ ¬ B = 0v) → (A ∈ (span ‘{B}) ↔ A = (((A ·i B) / (B ·i B)) ·s B)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776  {csn 1808   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   / cdiv 4091   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963  ⊥cort 4969  spancspn 4971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-span 5276

metamath.org