Theorem elz 4565

Description: Membership in the set of integers.

Assertion

Ref	Expression
elz	⊢ (A ∈ ℤ ↔ (A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-z 4564	. . 3 ⊢ ℤ = {x ∈ ℝ∣(x = 0 ∨ x ∈ ℕ ∨ -x ∈ ℕ)}
2	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (A ∈ ℤ ↔ A ∈ {x ∈ ℝ∣(x = 0 ∨ x ∈ ℕ ∨ -x ∈ ℕ)})
3		cleq1 1107	. . . 4 ⊢ (x = A → (x = 0 ↔ A = 0))
4		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ (x = A → (x ∈ ℕ ↔ A ∈ ℕ))
5		negeq 4136	. . . . 5 ⊢ (x = A → -x = -A)
6	5	eleq1d 1155	. . . 4 ⊢ (x = A → (-x ∈ ℕ ↔ -A ∈ ℕ))
7	3, 4, 6	bi3ord 635	. . 3 ⊢ (x = A → ((x = 0 ∨ x ∈ ℕ ∨ -x ∈ ℕ) ↔ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)))
8	7	elrab 1422	. 2 ⊢ (A ∈ {x ∈ ℝ∣(x = 0 ∨ x ∈ ℕ ∨ -x ∈ ℕ)} ↔ (A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)))
9	2, 8	bitr 151	1 ⊢ (A ∈ ℤ ↔ (A ∈ ℝ ∧ (A = 0 ∨ A ∈ ℕ ∨ -A ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  ℝcr 4027  0cc0 4028  -cneg 4090  ℕcn 4093  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  nnnegz 4566  zret 4567  elnnz 4572  0z 4573  elznn0nn 4575  elznn0 4576  elnnz1 4581  halfnz 4586  znegclt 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-neg 4135  df-z 4564

metamath.org