Theorem en2 3305

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function.

Hypotheses

Ref	Expression
en2.1	⊢ A ∈ V
en2.2	⊢ (x ∈ A → C ∈ V)
en2.3	⊢ (y ∈ B → D ∈ V)
en2.4	⊢ ((x ∈ A ∧ y = C) ↔ (y ∈ B ∧ x = D))

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ A ≈ B

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   y,C   x,D

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. 2 ⊢ A = A
2		en2.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
3	2	a1i 7	. . 3 ⊢ (A = A → A ∈ V)
4		en2.2	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → C ∈ V)
5	4	a1i 7	. . 3 ⊢ (A = A → (x ∈ A → C ∈ V))
6		en2.3	. . . 4 ⊢ (y ∈ B → D ∈ V)
7	6	a1i 7	. . 3 ⊢ (A = A → (y ∈ B → D ∈ V))
8		en2.4	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ y = C) ↔ (y ∈ B ∧ x = D))
9	8	a1i 7	. . 3 ⊢ (A = A → ((x ∈ A ∧ y = C) ↔ (y ∈ B ∧ x = D)))
10	3, 5, 7, 9	en2d 3303	. 2 ⊢ (A = A → A ≈ B)
11	1, 10	ax-mp 6	1 ⊢ A ≈ B

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  mapsnen 3334  map1 3335  xpsnen 3339  xpcomen 3343  xpassen 3344  pw2en 3348  mapxpen 3390  xpmapenlem5 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org