Theorem en2sn 3336

Description: Two singletons are equinumerous.

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → {A} ≈ {B})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entrt 3319	. 2 ⊢ (({A} ≈ 1o ∧ 1o ≈ {B}) → {A} ≈ {B})
2		sneq 1816	. . . 4 ⊢ (x = A → {x} = {A})
3	2	breq1d 2071	. . 3 ⊢ (x = A → ({x} ≈ 1o ↔ {A} ≈ 1o))
4		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
5	4	ensn1 3329	. . 3 ⊢ {x} ≈ 1o
6	3, 5	vtoclg 1383	. 2 ⊢ (A ∈ C → {A} ≈ 1o)
7		sneq 1816	. . . . 5 ⊢ (x = B → {x} = {B})
8	7	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (x = B → ({x} ≈ 1o ↔ {B} ≈ 1o))
9	8, 5	vtoclg 1383	. . 3 ⊢ (B ∈ D → {B} ≈ 1o)
10		1o 3109	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
11		ensymg 3316	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ({B} ≈ 1o → 1o ≈ {B}))
12	10, 11	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ({B} ≈ 1o → 1o ≈ {B})
13	9, 12	syl 12	. 2 ⊢ (B ∈ D → 1o ≈ {B})
14	1, 6, 13	syl2an 349	1 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → {A} ≈ {B})

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {csn 1808   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  limensuci 3401  infensuc 3484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org