Theorem endisj 3341

Description: Any two sets are equinumerous to disjoint sets. Exercise 4.39 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
endisj.1	⊢ A ∈ V
endisj.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
endisj	⊢ ∃x∃y((x ≈ A ∧ y ≈ B) ∧ (x ∩ y) = ∅)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem endisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endisj.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2		0ex 1745	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	xpsnen 3339	. . 3 ⊢ (A × {∅}) ≈ A
4		endisj.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
5		p0ex 1885	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6	4, 5	xpsnen 3339	. . 3 ⊢ (B × {{∅}}) ≈ B
7	3, 6	pm3.2i 234	. 2 ⊢ ((A × {∅}) ≈ A ∧ (B × {{∅}}) ≈ B)
8		0nep0 1887	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = {∅}
9		xpsndisj 2655	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = {∅} → ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})) = ∅)
10	8, 9	ax-mp 6	. 2 ⊢ ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})) = ∅
11	1, 5	xpex 2488	. . 3 ⊢ (A × {∅}) ∈ V
12		snex 1859	. . . 4 ⊢ {{∅}} ∈ V
13	4, 12	xpex 2488	. . 3 ⊢ (B × {{∅}}) ∈ V
14		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (x = (A × {∅}) → (x ≈ A ↔ (A × {∅}) ≈ A))
15		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (y = (B × {{∅}}) → (y ≈ B ↔ (B × {{∅}}) ≈ B))
16	14, 15	bi2anan9 478	. . . 4 ⊢ ((x = (A × {∅}) ∧ y = (B × {{∅}})) → ((x ≈ A ∧ y ≈ B) ↔ ((A × {∅}) ≈ A ∧ (B × {{∅}}) ≈ B)))
17		ineq12 1640	. . . . 5 ⊢ ((x = (A × {∅}) ∧ y = (B × {{∅}})) → (x ∩ y) = ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})))
18	17	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ ((x = (A × {∅}) ∧ y = (B × {{∅}})) → ((x ∩ y) = ∅ ↔ ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})) = ∅))
19	16, 18	anbi12d 476	. . 3 ⊢ ((x = (A × {∅}) ∧ y = (B × {{∅}})) → (((x ≈ A ∧ y ≈ B) ∧ (x ∩ y) = ∅) ↔ (((A × {∅}) ≈ A ∧ (B × {{∅}}) ≈ B) ∧ ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})) = ∅)))
20	11, 13, 19	cla4e2v 1406	. 2 ⊢ ((((A × {∅}) ≈ A ∧ (B × {{∅}}) ≈ B) ∧ ((A × {∅}) ∩ (B × {{∅}})) = ∅) → ∃x∃y((x ≈ A ∧ y ≈ B) ∧ (x ∩ y) = ∅))
21	7, 10, 20	mp2an 520	1 ⊢ ∃x∃y((x ≈ A ∧ y ≈ B) ∧ (x ∩ y) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054   × cxp 2408   ≈ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org