Theorem endom 3289

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (A ≈ B → A ≼ B)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 3287	. . . 4 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	a1i 7	. . 3 ⊢ (A ≈ B → ≈ ⊆ ≼ )
3	2	ssbrd 2094	. 2 ⊢ (A ≈ B → (A ≈ B → A ≼ B))
4	3	pm2.43i 58	1 ⊢ (A ≈ B → A ≼ B)

Syntax hints:   → wi 2   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  bren2 3293  domrefg 3297  endomtr 3325  domentr 3326  sbthbg 3360  sdomdomtr 3370  sdomentr 3371  unxpdom2 3651  uncdadom 3718  infxpidmlem10 4942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org