Theorem ener 3313

Description: Equinumerosity is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
ener	⊢ Er ≈

Proof of Theorem ener

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
2	1	bren 3282	. . 3 ⊢ (x ≈ y ↔ ∃f f:x–1-1-onto→y)
3		f1ocnv 2811	. . . . 5 ⊢ (f:x–1-1-onto→y → ◡f:y–1-1-onto→x)
4	1	f1oen 3301	. . . . 5 ⊢ (◡f:y–1-1-onto→x → y ≈ x)
5	3, 4	syl 12	. . . 4 ⊢ (f:x–1-1-onto→y → y ≈ x)
6	5	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃f f:x–1-1-onto→y → y ≈ x)
7	2, 6	sylbi 174	. 2 ⊢ (x ≈ y → y ≈ x)
8		eeanv 980	. . . 4 ⊢ (∃g∃f(g:x–1-1-onto→y ∧ f:y–1-1-onto→z) ↔ (∃g g:x–1-1-onto→y ∧ ∃f f:y–1-1-onto→z))
9		f1oco 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((f:y–1-1-onto→z ∧ g:x–1-1-onto→y) → (f ∘ g):x–1-1-onto→z)
10	9	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((g:x–1-1-onto→y ∧ f:y–1-1-onto→z) → (f ∘ g):x–1-1-onto→z)
11		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
12	11	f1oen 3301	. . . . . 6 ⊢ ((f ∘ g):x–1-1-onto→z → x ≈ z)
13	10, 12	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((g:x–1-1-onto→y ∧ f:y–1-1-onto→z) → x ≈ z)
14	13	19.23aivv 953	. . . 4 ⊢ (∃g∃f(g:x–1-1-onto→y ∧ f:y–1-1-onto→z) → x ≈ z)
15	8, 14	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((∃g g:x–1-1-onto→y ∧ ∃f f:y–1-1-onto→z) → x ≈ z)
16	1	bren 3282	. . 3 ⊢ (x ≈ y ↔ ∃g g:x–1-1-onto→y)
17		visset 1350	. . . 4 ⊢ z ∈ V
18	17	bren 3282	. . 3 ⊢ (y ≈ z ↔ ∃f f:y–1-1-onto→z)
19	15, 16, 18	syl2anb 350	. 2 ⊢ ((x ≈ y ∧ y ≈ z) → x ≈ z)
20	7, 19	ster 3207	1 ⊢ Er ≈

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409   ∘ ccom 2414  –1-1-onto→wf1o 2421  Er wer 3197   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  ensymg 3316  entrt 3319  phplem5 3407  nneneq 3408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org