Theorem enqeceq 3841

Description: Equivalence class equality of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
enqeceq	⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (A ·N D) = (B ·N C)))

Proof of Theorem enqeceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → (A ∈ N ∧ B ∈ N))
2		opelxpi 2455	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ⟨A, B⟩ ∈ (N × N))
3		dmenq 3839	. . . . 5 ⊢ dom ~Q = (N × N)
4	3	eleq2i 1153	. . . 4 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ dom ~Q ↔ ⟨A, B⟩ ∈ (N × N))
5	2, 4	sylibr 175	. . 3 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → ⟨A, B⟩ ∈ dom ~Q )
6		opex 1893	. . . 4 ⊢ ⟨C, D⟩ ∈ V
7		enqer 3840	. . . 4 ⊢ Er ~Q
8	6, 7	erthdm 3220	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ dom ~Q → ([⟨A, B⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ ⟨A, B⟩ ~Q ⟨C, D⟩))
9	1, 5, 8	3syl 21	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ ⟨A, B⟩ ~Q ⟨C, D⟩))
10		enqbreq 3838	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → (⟨A, B⟩ ~Q ⟨C, D⟩ ↔ (A ·N D) = (B ·N C)))
11	9, 10	bitrd 406	1 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ D ∈ N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q = [⟨C, D⟩] ~Q ↔ (A ·N D) = (B ·N C)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054   × cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001  [cec 3198  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768 &nbSp; ~_Q ceq 3772

This theorem is referenced by:  ordpipq 3850  ltsopq 3869  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-ni 3794  df-mi 3796  df-enq 3831

metamath.org