Theorem enqex 3842

Description: The equivalence relation for positive fractions exists.

Assertion

Ref	Expression
enqex	⊢ ~Q ∈ V

Proof of Theorem enqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		niex 3803	. . . 4 ⊢ N ∈ V
2	1, 1	xpex 2488	. . 3 ⊢ (N × N) ∈ V
3	2, 2	xpex 2488	. 2 ⊢ ((N × N) × (N × N)) ∈ V
4		df-enq 3831	. . 3 ⊢ ~Q = {⟨x, y⟩∣((x ∈ (N × N) ∧ y ∈ (N × N)) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = ⟨z, w⟩ ∧ y = ⟨v, u⟩) ∧ (z ·N u) = (w ·N v)))}
5		opabssxp 2468	. . 3 ⊢ {⟨x, y⟩∣((x ∈ (N × N) ∧ y ∈ (N × N)) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = ⟨z, w⟩ ∧ y = ⟨v, u⟩) ∧ (z ·N u) = (w ·N v)))} ⊆ ((N × N) × (N × N))
6	4, 5	eqsstr 1530	. 2 ⊢ ~Q ⊆ ((N × N) × (N × N))
7	3, 6	ssexi 1701	1 ⊢ ~Q ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  {copab 2055   × cxp 2408  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772

This theorem is referenced by:  addpipq 3848  mulpipq 3849  ordpipq 3850  1q 3851  addclpq 3852  mulclpq 3854  recmulpq 3864  ltexpq 3874  halfpq 3876  prlem934a 3931  prlem934 3933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-ni 3794  df-enq 3831

metamath.org