Theorem enrefg 3294

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (A ∈ B → A ≈ A)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 2692	. . . 4 ⊢ Fun I
2		resfunexg 2717	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → (Fun I → (I ↾ A) ∈ V))
3	1, 2	mpi 44	. . 3 ⊢ (A ∈ B → (I ↾ A) ∈ V)
4		f1oi 2825	. . . 4 ⊢ (I ↾ A):A–1-1-onto→A
5		f1oeq1 2795	. . . . 5 ⊢ (f = (I ↾ A) → (f:A–1-1-onto→A ↔ (I ↾ A):A–1-1-onto→A))
6	5	cla4egv 1397	. . . 4 ⊢ ((I ↾ A) ∈ V → ((I ↾ A):A–1-1-onto→A → ∃f f:A–1-1-onto→A))
7	4, 6	mpi 44	. . 3 ⊢ ((I ↾ A) ∈ V → ∃f f:A–1-1-onto→A)
8	3, 7	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ B → ∃f f:A–1-1-onto→A)
9		breng 3280	. 2 ⊢ (A ∈ B → (A ≈ A ↔ ∃f f:A–1-1-onto→A))
10	8, 9	mpbird 171	1 ⊢ (A ∈ B → A ≈ A)

Syntax hints:   → wi 2  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Icid 2057   ↾ cres 2412  Fun wfun 2416  –1-1-onto→wf1o 2421   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  enref 3295  eqeng 3296  domrefg 3297  f1oeng 3298  sdomirr 3314  unen 3338  pwen 3398  onfin 3415  ssnn 3429  numth2 3600  oncardval 3626  cardonle 3629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org