Theorem ensdomtr 3372

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	⊢ ((A ≈ B ∧ B ≺ C) → A ≺ C)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endomtr 3325	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ≈ B ∧ B ≼ C) → A ≼ C)
2	1	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (A ≈ B → (B ≼ C → A ≼ C))
3	2	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → (B ≼ C → A ≼ C))
4		ensymg 3316	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ V → (A ≈ B → B ≈ A))
5	4	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → B ≈ A)
6		entrt 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ≈ A ∧ A ≈ C) → B ≈ C)
7	6	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (B ≈ A → (A ≈ C → B ≈ C))
8	5, 7	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → (A ≈ C → B ≈ C))
9	8	con3d 87	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → (¬ B ≈ C → ¬ A ≈ C))
10	3, 9	anim12d 431	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → ((B ≼ C ∧ ¬ B ≈ C) → (A ≼ C ∧ ¬ A ≈ C)))
11		brsdom 3286	. . . . 5 ⊢ (B ≺ C ↔ (B ≼ C ∧ ¬ B ≈ C))
12		brsdom 3286	. . . . 5 ⊢ (A ≺ C ↔ (A ≼ C ∧ ¬ A ≈ C))
13	10, 11, 12	3imtr4g 426	. . . 4 ⊢ ((B ∈ V ∧ A ≈ B) → (B ≺ C → A ≺ C))
14	13	exp 291	. . 3 ⊢ (B ∈ V → (A ≈ B → (B ≺ C → A ≺ C)))
15	14	imp3a 279	. 2 ⊢ (B ∈ V → ((A ≈ B ∧ B ≺ C) → A ≺ C))
16		relsdom 3279	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
17	16	brrelexi 2447	. . . . 5 ⊢ (B ≺ C → B ∈ V)
18	17	con3i 90	. . . 4 ⊢ (¬ B ∈ V → ¬ B ≺ C)
19	18	pm2.21d 74	. . 3 ⊢ (¬ B ∈ V → (B ≺ C → A ≺ C))
20	19	adantld 307	. 2 ⊢ (¬ B ∈ V → ((A ≈ B ∧ B ≺ C) → A ≺ C))
21	15, 20	pm2.61i 110	1 ⊢ ((A ≈ B ∧ B ≺ C) → A ≺ C)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  sdomen1 3379  isfinite2 3437  alephordi 3679  resdomq 4932  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org