Theorem ensn1 3329

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {A} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		0ex 1745	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	f1osn 2827	. . . 4 ⊢ {⟨A, ∅⟩}:{A}–1-1-onto→{∅}
4		snex 1859	. . . . 5 ⊢ {⟨A, ∅⟩} ∈ V
5		f1oeq1 2795	. . . . 5 ⊢ (f = {⟨A, ∅⟩} → (f:{A}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨A, ∅⟩}:{A}–1-1-onto→{∅}))
6	4, 5	cla4ev 1401	. . . 4 ⊢ ({⟨A, ∅⟩}:{A}–1-1-onto→{∅} → ∃f f:{A}–1-1-onto→{∅})
7	3, 6	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃f f:{A}–1-1-onto→{∅}
8		p0ex 1885	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9	8	bren 3282	. . 3 ⊢ ({A} ≈ {∅} ↔ ∃f f:{A}–1-1-onto→{∅})
10	7, 9	mpbir 165	. 2 ⊢ {A} ≈ {∅}
11		df1o2 3111	. 2 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	breqtrr 2082	1 ⊢ {A} ≈ 1o

Syntax hints:  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  {csn 1808  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  –1-1-onto→wf1o 2421  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  ensn1g 3330  en1 3331  en2sn 3336  snfi 3337  0sdom1dom 3420  sucxpdom 3652  cda1en 3721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-1o 3104  df-en 3274

metamath.org