Theorem ensymg 3316

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
ensymg	⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → B ≈ A))

Proof of Theorem ensymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 3277	. . . 4 ⊢ Rel ≈
2	1	brrelexi 2447	. . 3 ⊢ (A ≈ B → A ∈ V)
3		breq1 8SPAN CLASS=r STYLE="color:#07DC00">2065	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ≈ y ↔ A ≈ y))
4		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (y ≈ x ↔ y ≈ A))
5	3, 4	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((x ≈ y → y ≈ x) ↔ (A ≈ y → y ≈ A)))
6		breq2 2066	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (A ≈ y ↔ A ≈ B))
7		breq1 2065	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (y ≈ A ↔ B ≈ A))
8	6, 7	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((A ≈ y → y ≈ A) ↔ (A ≈ B → B ≈ A)))
9		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
10		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
11		ener 3313	. . . . . 6 ⊢ Er ≈
12	9, 10, 11	ersym 3209	. . . . 5 ⊢ (x ≈ y → y ≈ x)
13	5, 8, 12	vtocl2g 1386	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ C) → (A ≈ B → B ≈ A))
14	13	exp 291	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (B ∈ C → (A ≈ B → B ≈ A)))
15	2, 14	syl 12	. 2 ⊢ (A ≈ B → (B ∈ C → (A ≈ B → B ≈ A)))
16	15	pm2.43b 61	1 ⊢ (B ∈ C → (A ≈ B → B ≈ A))

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  ensym 3317  f1imaen 3327  en2sn 3336  sbthbg 3360  domnsym 3365  sdomdomtr 3370  ensdomtr 3372  domsdomtr 3374  enen1 3375  enen2 3376  domen1 3377  domen2 3378  sdomen1 3379  sdomen2 3380  limensuci 3401  infsdomnn 3426  unfi2 3442  carden 3638  carddomi 3641  sdomsdomcard 3654  iscard2 3660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org