Theorem entri 3645

Description: Trichotomy of equinumerosity and strict dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 8 of [Suppes] p. 242.

Assertion

Ref	Expression
entri	⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (A ≺ B ∨ A ≈ B ∨ B ≺ A))

Proof of Theorem entri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtri 3644	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (A ≼ B ↔ ¬ B ≺ A))
2	1	biimprd 136	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (¬ B ≺ A → A ≼ B))
3		brdom2 3292	. . . . 5 ⊢ (A ≼ B ↔ (A ≺ B ∨ A ≈ B))
4	2, 3	syl6ib 185	. . . 4 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (¬ B ≺ A → (A ≺ B ∨ A ≈ B)))
5	4	con1d 85	. . 3 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (¬ (A ≺ B ∨ A ≈ B) → B ≺ A))
6	5	orrd 203	. 2 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → ((A ≺ B ∨ A ≈ B) ∨ B ≺ A))
7		df-3or 582	. 2 ⊢ ((A ≺ B ∨ A ≈ B ∨ B ≺ A) ↔ ((A ≺ B ∨ A ≈ B) ∨ B ≺ A))
8	6, 7	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (A ≺ B ∨ A ≈ B ∨ B ≺ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  entri2 3646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org