Theorem entrt 3319

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
entrt	⊢ ((A ≈ B ∧ B ≈ C) → A ≈ C)

Proof of Theorem entrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 3277	. 2 ⊢ Rel ≈
2		visset 1350	. . 3 ⊢ x ∈ V
3		visset 1350	. . 3 ⊢ y ∈ V
4		visset 1350	. . 3 ⊢ z ∈ V
5		ener 3313	. . 3 ⊢ Er ≈
6	2, 3, 4, 5	ertr 3211	. 2 ⊢ ((x ≈ y ∧ y ≈ z) → x ≈ z)
7	2	enref 3295	. 2 ⊢ x ≈ x
8	1, 6, 7	vtoclrbr 2450	1 ⊢ ((A ≈ B ∧ B ≈ C) → A ≈ C)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  entr 3321  en2sn 3336  sdomdomtr 3370  ensdomtr 3372  domsdomtr 3374  enen1 3375  enen2 3376  xpen 3383  ssenen 3399  phplem5 3407  php3 3411  isfinite1 3425  ssfi 3430  isfinite2 3437  unfi 3441  karden 3551  oncard 3636  carden 3638  infxpidmlem1 4933  infxpidmlem12 4944  infmap2 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org