Theorem epne3 2182

Description: A set founded by epsilon contains no 3-cycle loops.

Assertion

Ref	Expression
epne3	⊢ ((E Fr A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ¬ (x ∈ y ∧ y ∈ z ∧ z ∈ x))

Proof of Theorem epne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr3nr 2178	. 2 ⊢ ((E Fr A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ¬ (xEy ∧ yEz ∧ zEx))
2		epel 2124	. . . 4 ⊢ (xEy ↔ x ∈ y)
3		epel 2124	. . . 4 ⊢ (yEz ↔ y ∈ z)
4		epel 2124	. . . 4 ⊢ (zEx ↔ z ∈ x)
5	2, 3, 4	bi3an 606	. . 3 ⊢ ((xEy ∧ yEz ∧ zEx) ↔ (x ∈ y ∧ y ∈ z ∧ z ∈ x))
6	5	negbii 162	. 2 ⊢ (¬ (xEy ∧ yEz ∧ zEx) ↔ ¬ (x ∈ y ∧ y ∈ z ∧ z ∈ x))
7	1, 6	sylib 173	1 ⊢ ((E Fr A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ¬ (x ∈ y ∧ y ∈ z ∧ z ∈ x))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  Ecep 2056   Fr wfr 2061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

metamath.org