Theorem eqeng 3296

Description: Equality implies equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
eqeng	⊢ (A ∈ C → (A = B → A ≈ B))

Proof of Theorem eqeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . 3 ⊢ (A = B → (A ≈ A ↔ A ≈ B))
2		enrefg 3294	. . 3 ⊢ (A ∈ C → A ≈ A)
3	1, 2	syl5bi 183	. 2 ⊢ (A = B → (A ∈ C → A ≈ B))
4	3	com12 13	1 ⊢ (A ∈ C → (A = B → A ≈ B))

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  nneneq 3408  onomeneq 3414  alephord 3680  cdaassen 3725  infmap2 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org