Theorem eqneg 4378

Description: A number equal to its negative is zero.

Hypothesis

Ref	Expression
eqneg.1	⊢ A ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
eqneg	⊢ (A = -A ↔ A = 0)

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1re 4064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1, 1	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
3		lt01 4377	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4	1, 1, 3, 3	addgt0i 4326	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 + 1)
5	2, 4	gt0ne0i 4345	. . . 4 ⊢ (1 + 1) ≠ 0
6		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) ≠ 0 ↔ ¬ (1 + 1) = 0)
7	5, 6	mpbi 164	. . 3 ⊢ ¬ (1 + 1) = 0
8		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (A = -A → (A + A) = (A + -A))
9		eqneg.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℂ
10	9	1p1times 4187	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) · A) = (A + A)
11	9	negid 4147	. . . . . . 7 ⊢ (A + -A) = 0
12	11	cleqcomi 1105	. . . . . 6 ⊢ 0 = (A + -A)
13	8, 10, 12	3eqtr4g 1147	. . . . 5 ⊢ (A = -A → ((1 + 1) · A) = 0)
14	2	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
15	14, 9	mul0or 4210	. . . . 5 ⊢ (((1 + 1) · A) = 0 ↔ ((1 + 1) = 0 ∨ A = 0))
16	13, 15	sylib 173	. . . 4 ⊢ (A = -A → ((1 + 1) = 0 ∨ A = 0))
17	16	ord 202	. . 3 ⊢ (A = -A → (¬ (1 + 1) = 0 → A = 0))
18	7, 17	mpi 44	. 2 ⊢ (A = -A → A = 0)
19		df-neg 4135	. . . 4 ⊢ -0 = (0 − 0)
20		0cn 4100	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
21	20	subid 4155	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
22	19, 21	eqtr2 1120	. . 3 ⊢ 0 = -0
23		id 9	. . . 4 ⊢ (A = 0 → A = 0)
24		negeq 4136	. . . 4 ⊢ (A = 0 → -A = -0)
25	23, 24	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (A = 0 → (A = -A ↔ 0 = -0))
26	22, 25	mpbiri 169	. 2 ⊢ (A = 0 → A = -A)
27	18, 26	impbi 139	1 ⊢ (A = -A ↔ A = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∨ wo 195   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090

This theorem is referenced by:  negne0 4379  cjre 4811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135

metamath.org