Theorem erdmrn 3213

Description: The range and domain of an equivalence relation are equal.

Hypothesis

Ref	Expression
erdmrn.1	⊢ Er R

Assertion

Ref	Expression
erdmrn	⊢ dom R = ran R

Proof of Theorem erdmrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
2		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
3		erdmrn.1	. . . . 5 ⊢ Er R
4	1, 2, 3	ersymb 3210	. . . 4 ⊢ (xRy ↔ yRx)
5	4	biex 733	. . 3 ⊢ (∃y xRy ↔ ∃y yRx)
6	1	eldm 2527	. . 3 ⊢ (x ∈ dom R ↔ ∃y xRy)
7	1	elrn2 2563	. . 3 ⊢ (x ∈ ran R ↔ ∃y yRx)
8	5, 6, 7	3bitr4 158	. 2 ⊢ (x ∈ dom R ↔ x ∈ ran R)
9	8	cleqri 1101	1 ⊢ dom R = ran R

Syntax hints:  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  ran crn 2411  Er wer 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-er 3200

metamath.org