Theorem ersym 3209

Description: An equivalence relation is symmetric.

Hypotheses

Ref	Expression
ersym.1	⊢ A ∈ V
ersym.2	⊢ B ∈ V
ersym.3	⊢ Er R

Assertion

Ref	Expression
ersym	⊢ (ARB → BRA)

Proof of Theorem ersym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersym.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		ersym.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		breq12 2067	. . 3 ⊢ ((x = A ∧ y = B) → (xRy ↔ ARB))
4		breq12 2067	. . . 4 ⊢ ((y = B ∧ x = A) → (yRx ↔ BRA))
5	4	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((x = A ∧ y = B) → (yRx ↔ BRA))
6	3, 5	imbi12d 474	. 2 ⊢ ((x = A ∧ y = B) → ((xRy → yRx) ↔ (ARB → BRA)))
7		ersym.3	. . . . . . 7 ⊢ Er R
8		er2 3201	. . . . . . 7 ⊢ (Er R ↔ ∀x∀y∀z((xRy → yRx) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz)))
9	7, 8	mpbi 164	. . . . . 6 ⊢ ∀x∀y∀z((xRy → yRx) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz))
10	9	a4i 680	. . . . 5 ⊢ ∀y∀z((xRy → yRx) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz))
11	10	a4i 680	. . . 4 ⊢ ∀z((xRy → yRx) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz))
12	11	a4i 680	. . 3 ⊢ ((xRy → yRx) ∧ ((xRy ∧ yRz) → xRz))
13	12	pm3.26i 257	. 2 ⊢ (xRy → yRx)
14	1, 2, 6, 13	vtocl2 1379	1 ⊢ (ARB → BRA)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Er wer 3197

This theorem is referenced by:  ersymb 3210  erth 3219  ensymg 3316  phplem5 3407  nneneq 3408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-co 2427  df-er 3200

metamath.org