Theorem ersymb 3210

Description: An equivalence relation is symmetric.

Hypotheses

Ref	Expression
ersymb.1	⊢ A ∈ V
ersymb.2	⊢ B ∈ V
ersymb.3	⊢ Er R

Assertion

Ref	Expression
ersymb	⊢ (ARB ↔ BRA)

Proof of Theorem ersymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ersymb.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		ersymb.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
3		ersymb.3	. . 3 ⊢ Er R
4	1, 2, 3	ersym 3209	. 2 ⊢ (ARB → BRA)
5	2, 1, 3	ersym 3209	. 2 ⊢ (BRA → ARB)
6	4, 5	impbi 139	1 ⊢ (ARB ↔ BRA)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Er wer 3197

This theorem is referenced by:  erref 3212  erdmrn 3213  erthi 3218  erthdmr 3221  ereldm 3222  erdisj 3223

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-co 2427  df-er 3200

metamath.org