Theorem euanv 1053

Description: Introduction of a conjunct into uniqueness quantifier.

Assertion

Ref	Expression
euanv	⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) ↔ (φ ∧ ∃!xψ))

Distinct variable group(s):   φ,x

Proof of Theorem euanv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.42v 966	. . . 4 ⊢ (∃x(φ ∧ ψ) ↔ (φ ∧ ∃xψ))
2		moanimv 1052	. . . . . 6 ⊢ (∃*x(φ ∧ ψ) ↔ (φ → ∃*xψ))
3	2	anbi2i 367	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)) ↔ (φ ∧ (φ → ∃*xψ)))
4		abai 366	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ ∃*xψ) ↔ (φ ∧ (φ → ∃*xψ)))
5	3, 4	bitr4 154	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)) ↔ (φ ∧ ∃*xψ))
6	1, 5	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((∃x(φ ∧ ψ) ∧ (φ ∧ ∃*x(φ ∧ ψ))) ↔ ((φ ∧ ∃xψ) ∧ (φ ∧ ∃*xψ)))
7		anass 336	. . 3 ⊢ (((∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)) ↔ (∃x(φ ∧ ψ) ∧ (φ ∧ ∃*x(φ ∧ ψ))))
8		an4 388	. . 3 ⊢ (((φ ∧ φ) ∧ (∃xψ ∧ ∃*xψ)) ↔ ((φ ∧ ∃xψ) ∧ (φ ∧ ∃*xψ)))
9	6, 7, 8	3bitr4 158	. 2 ⊢ (((∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)) ↔ ((φ ∧ φ) ∧ (∃xψ ∧ ∃*xψ)))
10		eu5 1035	. . 3 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) ↔ (∃x(φ ∧ ψ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)))
11		anabs1 374	. . . . . 6 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∧ φ) ↔ (φ ∧ ψ))
12	11	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃x((φ ∧ ψ) ∧ φ) ↔ ∃x(φ ∧ ψ))
13		19.41v 963	. . . . 5 ⊢ (∃x((φ ∧ ψ) ∧ φ) ↔ (∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ))
14	12, 13	bitr3 153	. . . 4 ⊢ (∃x(φ ∧ ψ) ↔ (∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ))
15	14	anbi1i 368	. . 3 ⊢ ((∃x(φ ∧ ψ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)) ↔ ((∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)))
16	10, 15	bitr 151	. 2 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) ↔ ((∃x(φ ∧ ψ) ∧ φ) ∧ ∃*x(φ ∧ ψ)))
17		anidm 331	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ φ) ↔ φ)
18	17	bicomi 150	. . 3 ⊢ (φ ↔ (φ ∧ φ))
19		eu5 1035	. . 3 ⊢ (∃!xψ ↔ (∃xψ ∧ ∃*xψ))
20	18, 19	anbi12i 369	. 2 ⊢ ((φ ∧ ∃!xψ) ↔ ((φ ∧ φ) ∧ (∃xψ ∧ ∃*xψ)))
21	9, 16, 20	3bitr4 158	1 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) ↔ (φ ∧ ∃!xψ))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008

This theorem is referenced by:  eueq2 1429  eueq3 1430  fnopabg 2745  fvopab2 2878  fsn 2895  aceq5lem5 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010

metamath.org