Theorem expaddt 4698

Description: Sum of exponents law for natural number exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
expaddt	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ ∧ C ∈ ℕ) → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C)))

Proof of Theorem expaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 1 → (B + x) = (B + 1))
2	1	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = 1 → (A↑(B + x)) = (A↑(B + 1)))
3		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = 1 → (A↑x) = (A↑1))
4	3	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = 1 → ((A↑B) · (A↑x)) = ((A↑B) · (A↑1)))
5	2, 4	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = 1 → ((A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x)) ↔ (A↑(B + 1)) = ((A↑B) · (A↑1))))
6	5	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = 1 → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x))) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + 1)) = ((A↑B) · (A↑1)))))
7		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (B + x) = (B + y))
8	7	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A↑(B + x)) = (A↑(B + y)))
9		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (A↑x) = (A↑y))
10	9	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → ((A↑B) · (A↑x)) = ((A↑B) · (A↑y)))
11	8, 10	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x)) ↔ (A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y))))
12	11	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = y → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x))) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y)))))
13		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y + 1) → (B + x) = (B + (y + 1)))
14	13	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = (y + 1) → (A↑(B + x)) = (A↑(B + (y + 1))))
15		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (y + 1) → (A↑x) = (A↑(y + 1)))
16	15	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = (y + 1) → ((A↑B) · (A↑x)) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))))
17	14, 16	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = (y + 1) → ((A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x)) ↔ (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1)))))
18	17	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = (y + 1) → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x))) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))))))
19		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (B + x) = (B + C))
20	19	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (A↑(B + x)) = (A↑(B + C)))
21		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (A↑x) = (A↑C))
22	21	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → ((A↑B) · (A↑x)) = ((A↑B) · (A↑C)))
23	20, 22	cleq12d 1115	. . . . . 6 ⊢ (x = C → ((A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x)) ↔ (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C))))
24	23	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = C → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + x)) = ((A↑B) · (A↑x))) ↔ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C)))))
25		expp1t 4678	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + 1)) = ((A↑B) · A))
26		exp1t 4679	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑1) = A)
27	26	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑1) = A)
28	27	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → ((A↑B) · (A↑1)) = ((A↑B) · A))
29	25, 28	eqtr4d 1131	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + 1)) = ((A↑B) · (A↑1)))
30		1cn 4101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		axaddass 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((B + y) + 1) = (B + (y + 1)))
32	30, 31	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((B + y) + 1) = (B + (y + 1)))
33		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℕ → B ∈ ℂ)
34		nncnt 4428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((B + y) + 1) = (B + (y + 1)))
36	35	adantll 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → ((B + y) + 1) = (B + (y + 1)))
37	36	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑((B + y) + 1)) = (A↑(B + (y + 1))))
38		expp1t 4678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (B + y) ∈ ℕ) → (A↑((B + y) + 1)) = ((A↑(B + y)) · A))
39		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → A ∈ ℂ)
40	39	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → A ∈ ℂ)
41		nnaddclt 4436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (B + y) ∈ ℕ)
42	41	adantll 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (B + y) ∈ ℕ)
43	38, 40, 42	sylanc 361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑((B + y) + 1)) = ((A↑(B + y)) · A))
44	37, 43	eqtr3d 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑(B + y)) · A))
45		expp1t 4678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℕ) → (A↑(y + 1)) = ((A↑y) · A))
46	45	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑(y + 1)) = ((A↑y) · A))
47	46	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → ((A↑B) · (A↑(y + 1))) = ((A↑B) · ((A↑y) · A)))
48		axmulass 4073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A↑B) ∈ ℂ ∧ (A↑y) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (((A↑B) · (A↑y)) · A) = ((A↑B) · ((A↑y) · A)))
49		expclt 4696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ ℂ)
50	49	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ ℂ)
51		expclt 4696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ y ∈ ℕ) → (A↑y) ∈ ℂ)
52	51	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (A↑y) ∈ ℂ)
53	48, 50, 52, 40	syl3anc 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → (((A↑B) · (A↑y)) · A) = ((A↑B) · ((A↑y) · A)))
54	47, 53	eqtr4d 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → ((A↑B) · (A↑(y + 1))) = (((A↑B) · (A↑y)) · A))
55	44, 54	cleq12d 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → ((A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))) ↔ ((A↑(B + y)) · A) = (((A↑B) · (A↑y)) · A)))
56		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y)) → ((A↑(B + y)) · A) = (((A↑B) · (A↑y)) · A))
57	55, 56	syl5bir 184	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) ∧ y ∈ ℕ) → ((A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y)) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1)))))
58	57	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (y ∈ ℕ → ((A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y)) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))))))
59	58	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ → ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → ((A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y)) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))))))
60	59	a2d 15	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℕ → (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + y)) = ((A↑B) · (A↑y))) → ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + (y + 1))) = ((A↑B) · (A↑(y + 1))))))
61	6, 12, 18, 24, 29, 60	nnind 4434	. . . 4 ⊢ (C ∈ ℕ → ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ) → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C))))
62	61	exp3a 292	. . 3 ⊢ (C ∈ ℕ → (A ∈ ℂ → (B ∈ ℕ → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C)))))
63	62	com3l 34	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (B ∈ ℕ → (C ∈ ℕ → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C)))))
64	63	3imp 608	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℕ ∧ C ∈ ℕ) → (A↑(B + C)) = ((A↑B) · (A↑C)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℕcn 4093  ↑cexp 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org