Theorem expcllem 4682

Description: Lemma for proving natural number exponentiation closure laws.

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ F ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((x ∈ F ∧ y ∈ F) → (x · y) ∈ F)

Assertion

Ref	Expression
expcllem	⊢ ((A ∈ F ∧ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ F)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem expcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (z = 1 → (A↑z) = (A↑1))
2	1	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (z = 1 → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑1) ∈ F))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (z = 1 → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑1) ∈ F)))
4		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (z = w → (A↑z) = (A↑w))
5	4	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (z = w → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑w) ∈ F))
6	5	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (z = w → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑w) ∈ F)))
7		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (z = (w + 1) → (A↑z) = (A↑(w + 1)))
8	7	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (z = (w + 1) → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑(w + 1)) ∈ F))
9	8	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (z = (w + 1) → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
10		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (A↑z) = (A↑B))
11	10	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑B) ∈ F))
12	11	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (z = B → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑B) ∈ F)))
13		expcllem.1	. . . . . . . 8 ⊢ F ⊆ ℂ
14	13	sseli 1504	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ F → A ∈ ℂ)
15		exp1t 4679	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑1) = A)
16	14, 15	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ F → (A↑1) = A)
17	16	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (A ∈ F → ((A↑1) ∈ F ↔ A ∈ F))
18	17	ibir 450	. . . 4 ⊢ (A ∈ F → (A↑1) ∈ F)
19		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (A↑w) → (x · y) = ((A↑w) · y))
20	19	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (A↑w) → ((x · y) ∈ F ↔ ((A↑w) · y) ∈ F))
21		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = A → ((A↑w) · y) = ((A↑w) · A))
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = A → (((A↑w) · y) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
23		expcllem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ F ∧ y ∈ F) → (x · y) ∈ F)
24	20, 22, 23	vtocl2ga 1388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A↑w) ∈ F ∧ A ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
25	24	ancoms 334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ F ∧ (A↑w) ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
26	25	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ F ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
27		expp1t 4678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ w ∈ ℕ) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
28	27, 14	sylan 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ F ∧ w ∈ ℕ) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
29	28	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ F ∧ w ∈ ℕ) → ((A↑(w + 1)) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
30	29	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ F ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ F) → ((A↑(w + 1)) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
31	26, 30	mpbird 171	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ F ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ F) → (A↑(w + 1)) ∈ F)
32	31	exp31 293	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ F → (w ∈ ℕ → ((A↑w) ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
33	32	com12 13	. . . . 5 ⊢ (w ∈ ℕ → (A ∈ F → ((A↑w) ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
34	33	a2d 15	. . . 4 ⊢ (w ∈ ℕ → ((A ∈ F → (A↑w) ∈ F) → (A ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
35	3, 6, 9, 12, 18, 34	nnind 4434	. . 3 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ F → (A↑B) ∈ F))
36	35	imp 277	. 2 ⊢ ((B ∈ ℕ ∧ A ∈ F) → (A↑B) ∈ F)
37	36	ancoms 334	1 ⊢ ((A ∈ F ∧ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ F)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℕcn 4093  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  nnexpclt 4691  nn0expclt 4692  zexpclt 4693  qexpclt 4694  reexpclt 4695  expclt 4696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org