Theorem f0 2772

Description: The empty function.

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅–→A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 2739	. . . 4 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 165	. . 3 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 2567	. . . 4 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 1725	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ A
6	4, 5	eqsstr 1530	. . 3 ⊢ ran ∅ ⊆ A
7	3, 6	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ A)
8		df-f 2434	. 2 ⊢ (∅:∅–→A ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ A))
9	7, 8	mpbir 165	1 ⊢ ∅:∅–→A

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ran crn 2411   Fn wfn 2417  –→wf 2418

This theorem is referenced by:  f00 2773  fconst 2774  f10 2822  fconstfv 2903

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434

metamath.org