Theorem f1owe 2943

Description: Well-ordering of isomorphic relations.

Hypothesis

Ref	Expression
f1owe.1	⊢ R = {⟨x, y⟩∣(F ‘x)S(F ‘y)}

Assertion

Ref	Expression
f1owe	⊢ (F:A–1-1-onto→B → (S We B → R We A))

Distinct variable group(s):   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem f1owe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (F ‘x) = (F ‘z))
2	1	breq1d 2071	. . . . 5 ⊢ (x = z → ((F ‘x)S(F ‘y) ↔ (F ‘z)S(F ‘y)))
3		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (y = w → (F ‘y) = (F ‘w))
4	3	breq2d 2072	. . . . 5 ⊢ (y = w → ((F ‘z)S(F ‘y) ↔ (F ‘z)S(F ‘w)))
5		f1owe.1	. . . . 5 ⊢ R = {⟨x, y⟩∣(F ‘x)S(F ‘y)}
6	2, 4, 5	brabg 2116	. . . 4 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → (zRw ↔ (F ‘z)S(F ‘w)))
7	6	rgen2 1248	. . 3 ⊢ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (zRw ↔ (F ‘z)S(F ‘w))
8		df-iso 2439	. . . 4 ⊢ (F Isom R, S (A, B) ↔ (F:A–1-1-onto→B ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (zRw ↔ (F ‘z)S(F ‘w))))
9		isowe 2941	. . . 4 ⊢ (F Isom R, S (A, B) → (R We A ↔ S We B))
10	8, 9	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((F:A–1-1-onto→B ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (zRw ↔ (F ‘z)S(F ‘w))) → (R We A ↔ S We B))
11	7, 10	mpan2 519	. 2 ⊢ (F:A–1-1-onto→B → (R We A ↔ S We B))
12	11	biimprd 136	1 ⊢ (F:A–1-1-onto→B → (S We B → R We A))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091  ∀wral 1201   class class class wbr 2054  {copab 2055   We wwe 2062  –1-1-onto→wf1o 2421   ‘cfv 2422   Isom wiso 2423

This theorem is referenced by:  weth 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

metamath.org