Theorem facclt 4874

Description: Closure of the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
facclt	⊢ (A ∈ ℕ0 → (! ‘A) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . 3 ⊢ (x = 0 → (! ‘x) = (! ‘0))
2	1	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (x = 0 → ((! ‘x) ∈ ℕ ↔ (! ‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 2832	. . 3 ⊢ (x = y → (! ‘x) = (! ‘y))
4	3	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (x = y → ((! ‘x) ∈ ℕ ↔ (! ‘y) ∈ ℕ))
5		fveq2 2832	. . 3 ⊢ (x = (y + 1) → (! ‘x) = (! ‘(y + 1)))
6	5	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (x = (y + 1) → ((! ‘x) ∈ ℕ ↔ (! ‘(y + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 2832	. . 3 ⊢ (x = A → (! ‘x) = (! ‘A))
8	7	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (x = A → ((! ‘x) ∈ ℕ ↔ (! ‘A) ∈ ℕ))
9		fac0 4871	. . 3 ⊢ (! ‘0) = 1
10		1nn 4432	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltr 1159	. 2 ⊢ (! ‘0) ∈ ℕ
12		facp1t 4873	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ0 → (! ‘(y + 1)) = ((! ‘y) · (y + 1)))
13	12	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((! ‘y) ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ0) → (! &lsqNo;(y + 1)) = ((! ‘y) · (y + 1)))
14		nnmulclt 4437	. . . . . 6 ⊢ (((! ‘y) ∈ ℕ ∧ (y + 1) ∈ ℕ) → ((! ‘y) · (y + 1)) ∈ ℕ)
15		elnn0nn 4593	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℕ0 ↔ (y ∈ ℂ ∧ (y + 1) ∈ ℕ))
16	15	pm3.27bd 263	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ℕ0 → (y + 1) ∈ ℕ)
17	14, 16	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ (((! ‘y) ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ0) → ((! ‘y) · (y + 1)) ∈ ℕ)
18	13, 17	eqeltrd 1163	. . . 4 ⊢ (((! ‘y) ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ0) → (! ‘(y + 1)) ∈ ℕ)
19	18	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((y ∈ ℕ0 ∧ (! ‘y) ∈ ℕ) → (! ‘(y + 1)) ∈ ℕ)
20	19	exp 291	. 2 ⊢ (y ∈ ℕ0 → ((! ‘y) ∈ ℕ → (! ‘(y + 1)) ∈ ℕ))
21	2, 4, 6, 8, 11, 20	nn0ind 4612	1 ⊢ (A ∈ ℕ0 → (! ‘A) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℕcn 4093  ℕ₀cn0 4094  !cfa 4868

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-fac 4869

metamath.org