Theorem facp1t 4873

Description: The factorial of a successor.

Assertion

Ref	Expression
facp1t	⊢ (A ∈ ℕ0 → (! ‘(A + 1)) = ((! ‘A) · (A + 1)))

Proof of Theorem facp1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 4536	. 2 ⊢ (A ∈ ℕ0 ↔ (A ∈ ℕ ∨ A = 0))
2		peano2nn 4433	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℕ → (A + 1) ∈ ℕ)
3	&nbFp;	facnnt 4870	. . . . 5 ⊢ ((A + 1) ∈ ℕ → (! ‘(A + 1)) = (( · seq(I ↾ ℕ)) ‘(A + 1)))
4	2, 3	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → (! ‘(A + 1)) = (( · seq(I ↾ ℕ)) ‘(A + 1)))
5		axmulex 4060	. . . . 5 ⊢ · ∈ V
6		nnex 4431	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
7		funi 2692	. . . . . 6 ⊢ Fun I
8		resfunexg 2717	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ∈ V → (Fun I → (I ↾ ℕ) ∈ V))
9	6, 7, 8	mp2 43	. . . . 5 ⊢ (I ↾ ℕ) ∈ V
10	5, 9	seqsuc 4671	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → (( · seq(I ↾ ℕ)) ‘(A + 1)) = ((( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A) · ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1))))
11		fvres 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((A + 1) ∈ ℕ → ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1)) = (I ‘(A + 1)))
12	2, 11	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℕ → ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1)) = (I ‘(A + 1)))
13		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (A + 1) ∈ V
14		fvi 2900	. . . . . . . 8 ⊢ ((A + 1) ∈ V → (I ‘(A + 1)) = (A + 1))
15	13, 14	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (I ‘(A + 1)) = (A + 1)
16	12, 15	syl6eq 1140	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℕ → ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1)) = (A + 1))
17	16	opreq2d 3013	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℕ → ((( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A) · ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1))) = ((( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A) · (A + 1)))
18		facnnt 4870	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℕ → (! ‘A) = (( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A))
19	18	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℕ → ((! ‘A) · (A + 1)) = ((( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A) · (A + 1)))
20	17, 19	eqtr4d 1131	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℕ → ((( · seq(I ↾ ℕ)) ‘A) · ((I ↾ ℕ) ‘(A + 1))) = ((! ‘A) · (A + 1)))
21	4, 10, 20	3eqtrd 1132	. . 3 ⊢ (A ∈ ℕ → (! ‘(A + 1)) = ((! ‘A) · (A + 1)))
22		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (A = 0 → (A + 1) = (0 + 1))
23	22	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (A = 0 → (! ‘(A + 1)) = (! ‘(0 + 1)))
24	1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addid2 4113	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	fveq2i 2835	. . . . . 6 ⊢ (! ‘(0 + 1)) = (! ‘1)
27		fac1 4872	. . . . . 6 ⊢ (! ‘1) = 1
28	26, 27	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (! ‘(0 + 1)) = 1
29	23, 28	syl6eq 1140	. . . 4 ⊢ (A = 0 → (! ‘(A + 1)) = 1)
30		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (A = 0 → (! ‘A) = (! ‘0))
31	30, 22	opreq12d 3014	. . . . 5 ⊢ (A = 0 → ((! ‘A) · (A + 1)) = ((! ‘0) · (0 + 1)))
32		fac0 4871	. . . . . . 7 ⊢ (! ‘0) = 1
33	32, 25	opreq12i 3011	. . . . . 6 ⊢ ((! ‘0) · (0 + 1)) = (1 · 1)
34	24	mulid1 4114	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
35	33, 34	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ ((! ‘0) · (0 + 1)) = 1
36	31, 35	syl6eq 1140	. . . 4 ⊢ (A = 0 → ((! ‘A) · (A + 1)) = 1)
37	29, 36	eqtr4d 1131	. . 3 ⊢ (A = 0 → (! ‘(A + 1)) = ((! ‘A) · (A + 1)))
38	21, 37	jaoi 275	. 2 ⊢ ((A ∈ ℕ ∨ A = 0) → (! ‘(A + 1)) = ((! ‘A) · (A + 1)))
39	1, 38	sylbi 174	1 ⊢ (A ∈ ℕ0 → (! ‘(A + 1)) = ((! ‘A) · (A + 1)))

Syntax hints:   → wi 2   ∨ wo 195   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  Icid 2057   ↾ cres 2412  Fun wfun 2416   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  ℕcn 4093  ℕ₀cn0 4094  seqcseq 4660  !cfa 4868

This theorem is referenced by:  facclt 4874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-fac 4869

metamath.org